PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES (KDV)

MAKALAH

FISIKANON LINEAR

PERSAMAAN KORTEWEG DE VRIES (KDV)

OLEH :

DYTCHIA SEPTI KESUMA

01979/2008

Fisika

Dosen Pembimbing :

HIDAYATI M.Si

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2011

A.    Persamaan-Persamaan Dasar Hidrodinamika

Pembahasan tentang gerak fluida dijelaskan dengan menspesifikasi massa jenis  (x,y,z,t) dan kecepatan (x,y,z,t) fluida di titik (x,y,t) pada waktu t.

Pada dinamika fluida ini di batasi  untuk aliran fluida yang tidak berotasi, tak termampatkan dan tak kental.Aliran tak-termampatkan adalah aliran fluida yang dicirikan dengan tidak berubahnya besaran kerapatan massa (densitas) dari fluida di sepanjang aliran tersebut. Contoh fluida tak-termampatkan adalah: air, berbagai jenis minyak, emulsi, dll. Fluida tidak kental, sehingga semua gesekan yang muncul akibat viskositas fluida diabaikan.

Ditinjau dari vector kecepatan fluida:

 =    +    +    ………………………………………(1)

Pada fluida berlaku hukum kekekalan massa dalam bentuk persamaan kontinuitas :

          . (  + =  0 ………………………………………………………………(2)

Dimana  =  massa jenis fluida,  = (x,y,t) dan       = Untuk fluida ideal sifat tak kompresibel, massa jenis fluida  tidak bergantung ruang dan waktu  (   = 0)  sehingga persamaan 2 dapat ditulis dalam bentuk:
          . (  + =  0

         .  + 0 =0

         .   =  0……………………………………………………………………………(3)

selanjutnya diperkenalkan konsep potensial kecepatan. Potensial kecepatan (  merupakan fungsi scalar. Komponen kecepatan secara matematis dapat ditulis dalam bentuk potensial kecepatan:

 =     .  ………………………………………………………………………………(4)

Subtitusi persamaan (4) kedalam persamaan (3) sehingga di peroleh:

      .   =  0

     .  (   . ) =  0

 =  0 dengan  =  +  +  

 +  + (  = 0………………………………………………………(5)

Persamaan (5) di sebut dengan persamaan Laplace.

Bila partikel yang di tinjau terhadap dua arah, yaitu arah sumbu x dan sumbu z (2 dimensi),maka persamaan (5) menjadi:

 +  = 0………………………………………………………..…………………..(6)

Pada kasus fluida bergerak, ada dua macam kecepatan yang terjadi yaitu kecepatan partikel dan kecepatan gelombang.

Z

                                              

   

X

                  Gambar1.Kecepatan partikel dan Gelombang

                 

                  Dengan  =  = komponen kecepatan dalam arah sumbu z

 =  = komponen kecepatan dalam arah sumbu x

 Bentuk eksplisit dari kecepatan partikel:

 =   =   +  

 =  +      …………………………………………………..(7)

Subtitusi persamaan (4) ke persamaan (7), menghasilkan persamaan:

 =  +       di subtitusi  =  dan

=  +   ……………………………………………………….(8)

Dari bentuk umum hokum kedua newton , komponen gaya fluida dapat juga di tuliskan dalam besaran tekanan, massa dan komponen percepatan. Dalam arah x bentuk tersebut dapat di tulis

Persyaratan gelombang air dangkal yang digunakan adalah

v Tak rotasional

v Tak kompresibel(termampatkan)

v Tak invisid(tak kental

v Dibatasi oleh permukaan bebas pada bagian atas

v Di batasi oleh permukaan horizontal pada bagian bawah

Sebelum telah  didapatkan tiga persamaan yang penurunanya menggunakan persamaan hidrodinamika. Ketiga persamaan itu adalah: